线性回归和梯度下降 | 陈浩然的博客

线性回归和梯度下降

在上一章我们说到,机器学习中主要的两个任务就是回归和分类。如果读者有高中数学基础,我们很容易回忆到我们高中学习过的一种回归方法——线性回归。我们将这种方法泛化,就可以得到机器学习中的一种常见模型——线性模型,线性模型是监督学习的一种
我们已经说过,我们要从数据集中训练出模型,每个数据可以视为(属性,标签)二元组。其中属性可以为属性向量。
假设给定具有n个属性的属性向量的数据 $\vec x = (x_1,x_2,x_3 \dots x_n)$,我们利用属性的线性组合来进行预测,即
$$f(x) = w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+ \dots + w_nx_n + b$$
我们可以将其写成向量形式
$$ f(x) = w^Tx+b$$
其中$w=(w_1,w_2,w_3 \dots w_n)$,w和b就是该模型中我们要求的参数,确定w和b,该模型就得以确定。
我们将这样的模型称为线性模型,不得不提的是,线性模型并不是只能进行线性分类,它具有很强的泛化能力,我们后面会提到。

属性转换

在进行建模之前,我们要先对数据集进行处理,使得其适合进行建模。
我们注意到,在线性模型中,属性值都是实数,那么会出现以下两种需要进行转化的情况

  • 属性离散,但是有序关系(可以比较)。例如身材的过轻,正常,肥胖,过于肥胖,可以被编码为-1,0,1,2,从而转化为实数进行处理。
  • 属性离散,但是无序关系(不可比较)。例如国籍的中国人,美国人,日本人。我们可以将取值有k种的值转化为k维向量,如上例,可以编码为 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$。

单变量线性回归

如果 $x = (x_1,x_2,x_3 \dots x_n)$中n= 1,此时x为一个实数,线性回归模型就退化为单变量线性回归。我们将模型记为
$$f(x)=w x + b$$
其中w,x,b都是实数,相信这个模型大家在高中都学习过。在这里我们有两种方法求解这个模型,分别是最小二乘法梯度下降法
我们先定义符号,$x_i$ 代表第i个数据的属性值,$y_i$是第i个数据的标签值(即真值),f是我们学习到的模型,$f(x_i)$即我们对第i个数据的预测值。
我们的目标是,求得适当的w和b,使得S最小,其中S是预测值和真值的差距平方和,亦称为代价函数,当然代价函数还有很多其他的形式。
$$minS = \frac {1} {2n} \sum_{i=1}^{n} {(f(x_i)-y_i)^2}$$
其中的$\frac1n$只是将代价函数值归一化的系数。

最小二乘法

最小二乘法不是我们在这里要讨论的重点,但也是在很多地方会使用到的重要方法。
最小二乘法使用参数估计,将S看做一个关于w和b的函数,分别对w和b求偏导数,使得偏导数为0,由微积分知识知道,在此次可以取得S的最小值。由这两个方程即可求得w和b的值。(此处省略过程)
求得
$$w = \frac {\sum_{i=1}^{n} {y_i(x_i-\overline x)}} {\sum_{i=1}^{n} {x_i^2} -\frac 1m(\sum_{i=1}^{n} {x_i})^2 }$$
$$b = \overline y -b \overline x$$
其中$\overline y,\overline x$分别是y和x的均值

梯度下降法

我们刚刚利用了方程的方法求得了单变量线性回归的模型。但是对于几百万,上亿的数据,这种方法太慢了,这时,我们可以使用凸优化中最常见的方法之一——梯度下降法,来更加迅速的求得使得S最小的w和b的值。
S可以看做w和b的函数 $S(w,b)$,这是一个双变量的函数,我们用matlab画出他的函数图像,可以看出这是一个明显的凸函数。
参考图片
梯度下降法的相当于我们下山的过程,每次我们要走一步下山,寻找最低的地方,那么最可靠的方法便是环顾四周,寻找能一步到达的最低点,持续该过程,最后得到的便是最低点。
对于函数而言,便是求得该函数对所有参数(变量)的偏导,每次更新这些参数,直到到达最低点为止,注意这些参数必须在每一轮一起更新,而不是一个一个更新。
过程如下:
$$给w、b随机赋初值,一般可以都设为0$$
$$w_{new} = w - a\frac {\partial S(w,b)}{\partial w},b_{new} = b - a\frac {\partial S(w,b)}{\partial b}$$
$$w = w_{new},b = b_{new}$$
带入真正的表达式,即为
$$w_0 = w_0 - a \frac1m \sum_{i=1}^{n} {(f(x_i)-y_i)},w_0是常数项$$
$$w_j = w_j - a \frac1m \sum_{j=1}^{n} {(f(x_i)-y_i)x_i},j\in{1,2,3\cdots n}$$
其中a为学习率,是一个实数。整个过程形象表示便是如下图所示,一步一步走,最后达到最低点。
参考图片
需要说明以下几点:

  • a为学习率,学习率决定了学习的速度。
    • 如果a过小,那么学习的时间就会很长,导致算法的低效,不如直接使用最小二乘法。
    • 如果a过大,那么由于每一步更新过大,可能无法收敛到最低点。由于越偏离最低点函数的导数越大,如果a过大,某一次更新直接跨越了最低点,来到了比更新之前更高的地方。那么下一步更新步会更大,如此反复震荡,离最佳点越来越远。以上两种情况如下图所示
      参考图片
  • 我们的算法不一定能达到最优解。如上图爬山模型可知,如果我们初始位置发生变化,那么可能会到达不同的极小值点。但是由于线性回归模型中的函数都是凸函数,所以利用梯度下降法,是可以找到全局最优解的,在这里不详细阐述。

多变量线性回归

如果数据中属性是一个多维向量, $\vec x = (x_1,x_2,x_3 \dots x_n)$,那么该回归模型称为多变量线性回归。也就是一般意义上的线性回归模型。
我们先定义符号,$\vec x_i$ 代表第i个数据的属性值,它是一个向量,$x_i^j$表示第i个数据的第j个属性,它是一个实数,$y_i$是第i个数据的标签值,也是实数。f是我们学习到的模型,$f(\vec x_i)$即我们对第i个数据的预测值。
我们建立的模型为:
$$f(\vec x_i) = \vec w^T \cdot \vec x + b$$
我们的目标是,求得适当的 $\vec w$和b,使得S最小,其中S是预测值和真值的差距平方和,亦称为代价函数,当然代价函数还有很多其他的形式。
$$minS = \frac {1} {2n} \sum_{i=1}^{n} {(f(\vec x_i)-y_i)^2}$$
其中的$\frac1n$只是将代价函数值归一化的系数。

特征缩放

由于$\vec x$具有很多维的特征,每一维的特征大小可能相差甚多,这样会大大影响学习的速度。假如房价范围0-10000000,房子大小范围1-200,那么这两个特征学习到的系数大小会差很多倍,而学习率必须按照最小的系数来进行设定,则大系数的收敛会非常慢。
为了避免这种情况,我们使用了特征缩放将每个特征的值进行处理,使之在[-1,1]之间,当然,原本范围就于此在一个数量级的特征,也可以不进行处理。处理公式如下:
$$x_i = \frac {x_i-\overline x} {x_{max}-x_{min}}$$
或者
$$x_i = \frac {x_i-\overline x} {\sigma}$$
其中$\sigma$为数据标准差。

正规方程法

对于多元线性回归而言,正规方程法是一种准确的方法,就像最小二乘法对于单变量线性回归一样。
为了使形式更加简化,我们做以下符号设定
$$
\vec X =
\left[
\begin{matrix}
1 & x_1^1 & x_1^2 & x_1^3 \dots & x_1^n \\
1 &x_2^1 & x_2^2 & x_2^3 \dots & x_2^n \\
\cdots& \cdots& \cdots & \cdots \\
1 &x_n^1 & x_n^2 & x_n^3 \dots & x_n^n \\
\end{matrix}
\right] \tag{3}
$$
由此,我们可以将S写成另一种形式,定义如下
$$ S^1 = (\vec y -\vec X \cdot \vec w)^T(\vec y -\vec X \cdot \vec w) $$
请注意,$S^1$和S的区别仅仅在于它没有$\frac 1n$的系数,而该系数是一个定值,故最小化的目标和过程是一样的,我们在此要将$S^1$最小化。
同理,我们将$S^1$视为$\vec w$的函数,对于$\vec w$求导数,得到取得最小值时的$\vec w$的值,便是我们得到的结果,记为$\vec w^1$
$$\vec w^1 =(\vec X^T \vec X)^{-1}\vec X^T\vec y$$
该方法得到了为准确值,即在我们给定条件下的最优解,但是该方法有两个弊端:

  • 需要计算$(\vec X^T \vec X)^{-1}$,相对于矩阵规模n而言,算法复杂度是O(n3), n非常大时, 计算非常慢,甚至根本无法完成。
  • 可能出现矩阵不可逆的情况,在这里不进行数学上的分析,但是可以说明,以下两种情况容易导致矩阵不可逆。
    • 我们使用了冗余的特征,例如我们选取的两个特征始终保持倍数关系,则这两个特征向量线性相关。此时应该去除冗余的向量。
    • 我们使用了太多的特征(特征的数量超过了样本的数量).,也可以理解为样本的数量太少,对于这种情况我们可以删掉一些特征或者使用正则化(在下一篇文章中会讲到)。

梯度下降法

此处的梯度下降法和之前一元线性回归的梯度下降法基本相同,无非是一元线性回归只有两个需要求的参数,而多元线性回归中有多个待求参数。其余的只需要将导数项换掉即可。最终得到的式子如下:
$$w_0 = w_0 - a \frac1m \sum_{i=1}^{n} {(f(x_i)-y_i)},w_0是常数项$$
$$w_j = w_j - a \frac1m \sum_{i=1}^{n} {(f(x_i)-y_i)x_i^j},j\in{1,2,3\cdots n}$$
与正规方程法相比,梯度下降法当有大量特征时, 也能正常工作,仍可以在可接受的时间内完成。

泛化

之前我们提到过,线性模型并不是只能进行线性分类,它具有很强的泛化能力,如果仅仅使用在此之前的单元和多元线性回归,我们只能得到多维空间的高维平面,为了进一步增强泛化能力,我们可以引入幂次项
比如我们原来有只有一个特征$x_1$,我们现在令$x_2=x_1^2$,就人为的引入了第二个特征,拥有更强的拟合能力。
我们还可以引入两个特征的交叉项,使得线性模型更强大。
例如,我们原本只有一个模型:
$$y=w_1x_1+w_2x_2$$
我们引入$x_3 = x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1x_2$,人为引入三个变量,我们的模型变为:
$$y=w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+w_4x_4+w_5x_5$$
也就是说,很多复杂的模型都可以转化为线性模型进行建模。
但是,我们也要防范过拟合问题,过多的人为特征很容易导致过拟合,我们将在下一个章节详细讨论。

检验

那么,我们写好算法进行运行之后,如何检验我们的算法是否正常运行呢?一个办法就是看他的S(总误差)随时间变化的图像。
正常情况下,S应该随着算法的运行逐渐降低,降低的速度越来越小,但是如果算法错误,或者学习率不适宜,那么可能出现S反而增大或者抖动的现象,如下图所示:
参考图片

总结

线性模型以其简单和可解释性在众多模型中脱颖而出,至今仍是经常使用的回归算法之一,在机器学习中仍然具有重要应用,如趋势线,流行病学预测,金融经济等。

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