决策树 | 陈浩然的博客

决策树

定义

决策树是一种常见的机器学习算法,它的思想十分朴素,类似于我们平时利用选择做决策的过程。

例如有人给我们介绍新的对象的时候,我们就要一个个特点去判断,于是这种判断的过程就可以画成一棵树,例如根据特点依次判断:
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如上,决策的形式以树的形式进行示意和编码,就形成了决策树。

结构

显然,决策树在逻辑上以树的形式存在,包含根节点、内部结点和叶节点

  • 根节点:包含数据集中的所有数据的集合
  • 内部节点:每个内部节点为一个判断条件,并且包含数据集中满足从根节点到该节点所有条件的数据的集合。根据内部结点的判断条件测试结果,内部节点对应的数据的集合别分到两个或多个子节点中。
  • 叶节点:叶节点为最终的类别,被包含在该叶节点的数据属于该类别。

简而言之,决策树是一个利用树的模型进行决策的多分类模型,简单有效,易于理解。

伪代码

决策树算法的伪代码(参照了python语法)如下图所示:

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# D = {(x1,y1)、(x2,y2)......(xm,yn)} 是数据集
# A = {a1、a2、a3.} 是划分节点的属性集
# 节点node有两个主要属性:content代表该节点需要分类的训练集,type代表叶节点的决策类型
def generateTree(D,A):
newNode = 空 #生成新的节点
# 如果当前数据集都为一个种类,则设为一个叶节点并返回
if D 中数据皆属于类别 C:
newNode.content = D
newNode.type = C
return
# 如果已经没有属性了或者数据集在剩余属性中表现相同(属性无法区分)
if A = 空集 or D中数据在A中取值相同:
newNode.content = D
newNode.type = D中最多的类
return
#从A中选取最优的属性a
a=selectBestPorperty(A)
#为a的每一个取值生成一个节点,递归进行处理
for a的每一个取值 res[i]:
生成新的分支节点 node[i]
D[i] = D中取值为res[i]的数据
node[i].content = D[i]
if node[i].content == null:
node[i].type = D中最多的类
else:
generateTree(D[i],A - {a})
return

划分选择

可以看到,在伪代码中,大部分步骤都是简单而明确的,而最重要的步骤在于从A中选取最优的属性a,可以说,属性选择的质量,决定了决策树的预测准确度。这很容易理解,例如我们看一个学生聪明与否可以看他的成绩,但是如果依靠他的身高预测他是否聪明,显然得不到好的结果。

一般的原则是,希望通过不断划分节点,使得一个分支节点包含的数据尽可能的属于同一个类别,即“纯度“越来越高。

这里列出三种常用的准则。

信息增益准则

我们先对一个节点的纯度进行定义,我们将其称之为信息熵

​ $$ Ent(D)= - \sum_{k=1}^{|\gamma|}p_klog(p_k) $$

其中$p_k$代表当前节点D的数据中第k类样本所占的比例。

观察该信息熵的定义,有以下几个特点:

  • 由于$p_k$都属于[0,1],Ent(D)必定为正值,值越大说明纯度越低
  • Ent(D)在k=1,$p_1$=1时取值最小值0,在$k=|\gamma|$ $p_k=\frac 1 {|\gamma|}$时取值最大值$log_2^{|\gamma|}$
  • 信息熵是一个节点的固有性质,和该节点选取什么属性进行下一步的划分无关

在定义了信息熵之后,对信息增益进行定义,假设选取属性a有V个取值,${a^1 a^2 …… a^V}$,按照决策树的规则,D将被划分为V个不同的节点数据集,$D^v$代表其中第v个节点:

​ $$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum_{v=1}^V \frac {|D^v|}{|D|}Ent(D^v)$$

观察该式,有以下几点说明:

  • 第一线Ent(D)是确定的,和选取的属性a无关,我们可以将之看为定值
  • $\frac {|D^v|}{|D|}$表示分支节点所占的比例大小,显然数据集越大的分支节点权重越高
  • 分支节点整体纯度越大,则后一项越小,信息增益Gain变得越大,所以我们的目标是如何最大化信息增益

由此,我们得到了一种选择划分属性的方法,计算以每个属性进行划分子节点得到的信息增益,选择其中最大的作为选择的属性。

信息增益率准则

信息增益原则对于每个分支节点,都会乘以其权重,也就是说,由于权重之和为1,所以分支节点分的越多,即每个节点数据越小,纯度可能越高。这样会导致信息熵准则偏爱那些取值数目较多的属性

为了解决该问题,这里引入了信息增益率,定义如下:

​ $$Gain_ratio(D,a)=\frac {Gain(D,a)} {IV(a)}$$

​ $$IV(a)=\sum_{v=1}^{V} {\frac{|D^v|}{|D|}log_2^{\frac{|D^v|}{|D|}}}$$

相当于引入了修正项IV(a),它是对于属性a的固有值。

需要注意的是,信息增益率原则可能对取值数目较少的属性更加偏爱,为了解决这个问题,可以先找出信息增益在平均值以上的属性,在从中选择信息增益率最高的

基尼指数准则

在CART决策树中,使用基尼指数来选择属性,首先定义数据集D的基尼值:

​ $$Gini(D)=\sum_{k=1}^{|\gamma|}{\sum_{k^1!=k}^{} {p_kp_{k^1}}}=1-\sum_{k=1}^{|\gamma|}{p_k^2}$$

形象的说,基尼值代表了从D中随机选择两个样本,其类别不一致的概率。

有了基尼值后,可以在此基础上定义基尼指数:

​ $$Gini_index(D,a)=\sum_{v=1}^{V}{\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)}$$

其中$D^v$的含义和之前相同,可以看出基尼指数越小,说明纯度越高,我们可以通过选择基尼指数小的属性来划分子节点。

剪枝

剪枝是应该决策树过拟合的一种重要方法,主要分为以下两种:

  • 预剪枝:该策略就是在对一个节点进行划分前进行估计,如果不能提升决策树泛化精度,就停止划分,将当前节点设置为叶节点。那么怎么测量泛化精度,就是留出一部分训练数据当做测试集,每次划分前比较划分前后的测试集预测精度。
    • 优点:降低了过拟合风险,降低了训练所需的时间。
    • 缺点:预剪枝是一种贪心操作,可能有些划分暂时无法提升精度,但是后续划分可以提升精度。故产生了欠拟合的风险。
  • 后剪枝:该策略是首先正常建立一个决策树,然后对整个决策树进行剪枝。按照决策树的广度优先搜索的反序,依次对内部节点进行剪枝,如果将某以内部节点为根的子树换成一个叶节点,可以提高泛化性能,就进行剪枝。
    • 优先:降低过拟合风险,降低欠拟合风险,决策树效果提升比预剪枝强
    • 缺点:时间开销大得多

特殊值处理

连续值处理

在之前进行选择属性的时候,我们仅仅讨论了属性值为离散值的情况,例如身高分为“极高、高、较高、中等、较矮”五个选项,但是如果数据集中身高为连续值,例如140-210cm,我们该如何处理呢?

这里可以采用二分的思想,将连续值化为离散值。由于我们的数据集是有限的,即使是连续值,属性a在数据集中也只出现了有限个确定的值,记为$(a_1,a_2,a_3……a_n)$,且$a_1<a_2<a_3……<a_n$。

取n个值的中点,令

​ $$t_1=\frac{a_1+a_2}2,t_2=\frac{a_2+a_3}2……t_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_n}2$$

我们得到了n-1个中点,$(t_1,t_2……t_{n-1})$,任取一个值$t_i$可以将数据集D分为两个,$D^+$表示D中大于$t_i$的数据,$D^-$表示D中小于$t_i$的数据集合,这样,我们便可以同离散值一样进行处理了

接下来的问题是,选取哪一个t呢?显然在信息增益准则下,应该选择使得信息增益最大的t:

​ $$Gain(D,a)=max_tGain(D,a,t)=max_tEnt(D)-\sum_{\lambda \in{+,-}}{\frac{|D^{\lambda}|}{|D|}Ent(D_t^{\lambda})}$$

经过稍加改造的信息增益公式就可以选择最好的t来进行划分。

缺失值处理

缺失值处理较为复杂,设计到较多的公式,在这里给出链接,读者可以参考阅读

缺失值处理详解

其主要思想是

  • 在选择属性时,仅使用不缺失该属性的数据来计算信息增益,最后乘以一个代表缺失数据比例的比例系数
  • 在对某个属性进行划分子节点时,对于不缺失该属性的数据正常划分,对于缺失该属性的数据,按不同的权重划分进行每个子节点

多变量决策树

实际上大部分机器学习的分类算法,都是将一个具有n个属性的数据,看成一个在n维空间的一个点,分类的过程就是在n维空间或者更高维度空间中找到超平面,将这些点进行划分

而普通的决策树算法有一个特点,由于它每个节点的划分条件都是单独的,明确的,所以决策树的决策边界是平行于空间的坐标轴的。如下图所示:

决策边界

这对其拟合特性有一定的影响,当数据比较复杂时,需要较多的属性才能得到较好的划分,而多变量决策树就可以解决该问题。

在多变量决策树的学习过程中,不是为每个非叶结点寻找一个最优划分属性,而是试图建立一个合适的线性分类器。 如下图所示:

决策边界

多变量决策树较复杂,如果想进一步了解,可以阅读这个领域的论文。

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